Si, deberías usar el parámetro Translation Along Curve. El Constraint Position solo tiene en cuenta el centro de los objetos, para los canales posX, posY, posZ.
Otra opción podría ser tener dos curvas identicas, por ejemplo clonadas. Una la usas para el Deform by Curve, y la otra para el Constraint Position.
La deformación hacia el suelo, tal vez lo puedas hacer con un upVector. La mayoría de constraints, sino todos, tienen consigo una "sub-restricción" llamada upVector (poleVector en Maya), que es un look-at.
Si pones una captura igual ayuda.